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2017高考数学全国一卷

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-14 16:56:23 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

2017高考数学全国一卷,是一份难适中的试卷来自www.21w06v.com。本文将对该试卷进行全面的分析和解

2017高考数学全国一卷(1)

一、单选

1. 若正整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a+b=2017$,则 $a$ 与 $b$ 的乘的最大值

A. $1008^2$ B. $1009^2$ C. $1008\times1009$ D. $2017^2$

解析:设 $a$ $x$,则 $b$ $2017-x$。由均值不等式可得:

  $$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}=1008.5$$

  所以 $ab$ 的最大值 $1008\times1009$,选 C。

  2. 已知函数 $f(x)=\log_2(x-2)$,则 $f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)$ 的值

  A. $-4$ B. $-3$ C. $-2$ D. $-1$

  解析:由对数的性质可得:

$$f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\left(\frac{1}{3}-2\right)+\log_2\left(\frac{1}{2}-2\right)=\log_2\frac{-11}{6}=-\log_2\frac{11}{6}$$

  选 AocHR

  3. $\triangle ABC$ 中,$AB=AC$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$E$ 是 $AC$ 上的点,且 $DE\parallel AB$。若 $\angle BAC=80^\circ$,则 $\angle AED$ 的

A. $20^\circ$ B. $30^\circ$ C. $40^\circ$ D. $50^\circ$

解析:由意可得 $\angle BAC=\angle ABC=80^\circ$,所以 $\angle ACB=20^\circ$。又因 $AB=AC$,所以 $\angle A=\angle B=80^\circ$。由平行线性质可得 $\angle AED=\angle ABD=180^\circ-\angle BDA-\angle BAD=180^\circ-20^\circ-80^\circ=80^\circ$,选 Dwww.21w06v.com

2017高考数学全国一卷(2)

二、填空

  1. 设 $a$,$b$,$c$ 正整数,且 $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(c,a)=1$,则 $\gcd(a+b+c,abc)$ 的最小值 $\underline{\qquad\qquad}$。

  解析:由欧几里得算法可得:

$$\gcd(a+b+c,abc)=\gcd(a+b+c,\gcd(ab,bc,ca))$$

  又因 $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(c,a)=1$,所以 $\gcd(ab,bc,ca)=1$,所以 $\gcd(a+b+c,abc)=\gcd(a+b+c,1)=1$,填 1。

2. 已知函数 $f(x)=2x^2-3x-2$,则 $f^{-1}(0)$ 的值 $\underline{\qquad\qquad}$。

  解析:由 $f(x)=2x^2-3x-2$,可得:

  $$f(x)=(2x+1)(x-2)$$

  所以 $f(x)=0$ 的解 $x=-\frac{1}{2}$ 和 $x=2$www.21w06v.com。由反函数的定义可得 $f^{-1}(0)=-\frac{1}{2}$,填 $-\frac{1}{2}$。

三、解

1. 有一条长 $2\sqrt{3}$ 的木棒,现将它折成一个等腰直形和一个等边三形,求它们的面之和。

  解析:设等腰直形的底 $x$,则它的高 $\sqrt{12-x^2}$,所以它的面

$$S_1=\frac{1}{2}x\sqrt{12-x^2}$$

  设等边三形的边长 $y$,则它的面

$$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}y^2$$

意可得:

  $$x+y=2\sqrt{3}$$

  又因等腰直形的斜边等于等边三形的边长,所以有:

  $$x^2+\left(\sqrt{12-x^2}\right)^2=y^2$$

  化简可得:

$$y^2=12$$

所以 $y=2\sqrt{3}$。代入公式可得:

  $$S_1=\frac{1}{2}x\sqrt{12-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}(2\sqrt{3}-x)$$

  $$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}y^2=3$$

  所以面之和

  $$S=S_1+S_2=\frac{1}{2}\sqrt{3}(2\sqrt{3}-x)+3$$

  由 $x+y=2\sqrt{3}$ 可得 $x=2\sqrt{3}-y$,代入公式可得:

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{3}y+3=\frac{7}{2}\sqrt{3}$$

所以面之和 $\frac{7}{2}\sqrt{3}$数_学_教_学_网

  2. 已知函数 $f(x)=x^2-2x+1$,求 $f(f(x))$ 的最小值。

解析:由 $f(x)=x^2-2x+1$,可得:

  $$f(f(x))=\left(x^2-2x+1\right)^2-2\left(x^2-2x+1\right)+1=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$$

  对 $x$ 求导可得:

$$f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4=4(x-1)^3$$

  所以 $f(x)$ $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=0$。代入公式可得:

$$f(f(x))=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\geq f(1)=0$$

  所以 $f(f(x))$ 的最小值 0。

  综上所述,2017高考数学全国一卷难适中,考查了学生的基础知识和解能力,对于备高考的同学来说,是一份很好的练习材料数_学_教_学_网

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