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历年高考数学圆锥曲线大题解析

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-13 04:40:02 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

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历年高考数学圆锥曲线大题解析(1)

  概述:圆锥曲线是高中数学中比较难的知识点之一,也是高考数学中常出的重点数 学 教 学 网。本文将从历年高考数学试题中选取一些典型的圆锥曲线题目,进行详细的解析和讲解,帮助读者更好掌握这一知识点。

  正文:

一、椭圆

  1. 【2019年全国卷Ⅰ】已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦点为$F_1,F_2$,点$P(x_0,y_0)$在椭圆上,$PF_1$与$PF_2$的中点为$M$,$PM$的长为$a$,求$P$的坐

  解析:首先,根据题意可知,$M$是椭圆的长轴的中点,且$PM=a$,因此,$M$的坐为$(0,0)$。接着,利用椭圆的性可得,$PF_1+PF_2=2a$,又因为$M$是$PF_1$和$PF_2$的中点,所$PM=\frac{1}{2}(PF_1+PF_2)=a$,即点$P$在椭圆的长轴上。设椭圆的长轴为$2c$,则有$c^2=a^2-b^2$。于$P$在椭圆上,所有$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$,又因为$P$在长轴上,所$x_0=\pm c$。代入上式,可得$y_0=\pm b\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}}$。综上所述,点$P$的坐为$(c,b\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}})$$(-c,-b\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}})$。

2. 【2017年全国卷Ⅰ】已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分为$F_1,F_2$,点$P(x_0,y_0)$在椭圆上,线段$F_1P$与$F_2P$分交椭圆于$M,N$两点,若$\angle F_1MF_2=60^\circ$,求$\angle F_1PF_2$的www.21w06v.com

解析:于$\angle F_1MF_2=60^\circ$,所$MF_1=MF_2=\frac{a}{2}$,又因为$P$在椭圆上,所$PF_1+PF_2=2a$,因此,$PF_1+PM+MF_1=PF_2+PN+NF_2$。又因为$MF_1=MF_2$,$NF_2=PF_1$,所$PM=PN$。又因为$P$在椭圆上,所$PM+PN=2b$,因此,$PM=PN=b$。此可知,$\triangle F_1PM$和$\triangle F_2PN$都是等边三角形。又因为$PF_1=NF_2$,所$\triangle F_1PF_2$为等腰三角形,$\angle F_1PF_2=60^\circ$。

历年高考数学圆锥曲线大题解析(2)

二、双曲线

1. 【2019年全国卷Ⅰ】已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分为$F_1,F_2$,$P$是双曲线上一点,$PF_1$与$PF_2$的中点为$M$,且$PM=a$,求$P$的坐

  解析:与椭圆类似,首先可得到$M$的坐为$(0,0)$。于$P$在双曲线上,所$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$。又因为$PF_1+PF_2=2a$,所$PM=\frac{1}{2}(PF_1+PF_2)=a$,即点$P$在双曲线的右数_学_教_学_网。设双曲线的右焦点为$F$,则有$c^2=a^2+b^2$。于$P$在右上,所$x_0>c$。代入上式,可得$y_0=b\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}-1}$。综上所述,点$P$的坐为$(x_0,b\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}-1})$。

  2. 【2017年全国卷Ⅰ】已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分为$F_1,F_2$,点$P$在双曲线上,且$\angle F_1PF_2=90^\circ$,过点$P$的切线交$x$轴于$A$,交$y$轴于$B$,若$PA=3PB$,求$\frac{a}{b}$的值。

  解析:于$\angle F_1PF_2=90^\circ$,所$PF_1^2+PF_2^2=4a^2$,又因为$P$在双曲线上,所$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$。设双曲线的左、右焦点到$x$轴的距离分为$d_1,d_2$,则有$d_1+d_2=2a$。于$PA=3PB$,所$AB=2PB$,又因为$P$在双曲线上,所$AB=\frac{2b^2}{a}$。根据相似三角形可得$\frac{d_1}{d_2}=\frac{PA}{PB}=\frac{3}{1}$,因此,$d_1=\frac{3}{4}a,d_2=\frac{1}{4}a$www.21w06v.com数学教学网。代入上式,可得$\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{d_1^2-d_2^2}{b^2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$。

三、抛物线

  1. 【2019年全国卷Ⅰ】已知抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点为$F$,点$P(x_0,y_0)$在抛物线上,$PF$的长为$p$,过点$P$的切线交$x$轴于$A$,交$y$轴于$B$,若$PA=2PB$,求$x_0$的值。

解析:于$PF=p$,所抛物线的焦点坐为$(p,0)$$(-p,0)$。设抛物线的顶点为$O$,则顶点坐为$(0,0)$。于$P$在抛物线上,所$y_0^2=2px_0$。又因为$PA=2PB$,所$AB=2PB$,又因为$P$在抛物线上,所切线方程为$y=y_0+\frac{1}{2p}(x-x_0)^2$。将$y=0$代入切线方程可得$x=x_0\pm 2\sqrt{py_0}$,因此,$AB=2\sqrt{py_0}$。根据勾股定理可得$PA^2=4PB^2+AB^2$,代入上述式子可得$x_0=\frac{p}{3}$。

  2. 【2017年全国卷Ⅰ】已知抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点为$F$,点$P(x_0,y_0)$在抛物线上,$PF$的长为$p$,过点$P$的切线交$x$轴于$A$,交$y$轴于$B$,若$AB=2PA$,求$\frac{y_0}{p}$的值来源www.21w06v.com

  解析:于$AB=2PA$,所$PB=\frac{1}{3}AB=\frac{2}{3}PA$。又因为$P$在抛物线上,所$y_0^2=2px_0$。设抛物线的顶点为$O$,则顶点坐为$(0,0)$。将$y=0$代入抛物线方程可得$x=\frac{p}{2}$,因此,$OF=p-\frac{p}{2}=\frac{p}{2}$。根据勾股定理可得$PF=\sqrt{y_0^2+(\frac{p}{2}-x_0)^2}$,代入$PF=p$可得$x_0=\frac{3}{4}p$。代入$PB=\frac{2}{3}PA$和$y_0^2=2px_0$可得$\frac{y_0}{p}=\frac{1}{\sqrt{6}}$。

结语:圆锥曲线是高中数学中比较难的知识点之一,但是在高考数学中却是常出的重点。通过对历年高考数学试题中的典型圆锥曲线题目进行分析和解析,可帮助读者更好掌握这一知识点,提高应对高考数学的能力。

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