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数学必修1:函数比大小

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-13 04:53:14 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

本文目

数学必修1:函数比大小(1)

数学中,函数比大小是一个非常基础和重要的概念www.21w06v.com过比两个函数的大小,们可以得出它们的相对位置和性质,从而更好和应用函数。

一、函数比大小的定义

  在数学中,如果对于定义域内的任意x,函数f(x)和g(x)满足f(x)≤g(x),则称函数f(x)在定义域内小于等于函数g(x),记作f(x)≤g(x)。

  反之,如果对于定义域内的任意x,函数f(x)和g(x)满足f(x)≥g(x),则称函数f(x)在定义域内大于等于函数g(x),记作f(x)≥g(x)。

二、函数比大小的判断方法

  1. 直接比

如果两个函数在定义域内的任意点上,一个函数的值总是小于等于另一个函数的值,则这个函数在整个定义域内都小于等于另一个函数gdei。同理,如果一个函数的值总是大于等于另一个函数的值,则这个函数在整个定义域内都大于等于另一个函数。

  如,比函数f(x)=x和函数g(x)=x²在定义域[0,1]上的大小关系。显然,对于定义域内的任意x,f(x)≤g(x),因此f(x)在整个定义域内小于等于g(x)。

  2. 导数法

  如果两个函数在某个区间内的导数关系是确定的,那这两个函数在这个区间内的大小关系也是确定的pkQ

如,比函数f(x)=x和函数g(x)=ln(x)在定义域(0,∞)上的大小关系。对于定义域内的任意x,f(x)的导数为1,g(x)的导数为1/x。因为1/x在区间(0,∞)内单调递减,所以在该区间内,g(x)的导数始终大于f(x)的导数,即g(x)在该区间内大于f(x)。

数学必修1:函数比大小(2)

三、函数比大小的应用

  1. 求函数的大值和小值

  如果要求一个函数在定义域内的大值或小值,可以过函数比大小的方法来实现数+学+教+学+网。首先找到函数的值点,然后比值点和函数在端点处的取值,从而得出函数的大值或小值。

  如,求函数f(x)=x(1-x)在定义域[0,1]上的大值。首先求出f(x)的导数f'(x)=1-2x,得出值点为x=1/2。然后比f(0)、f(1/2)和f(1)的大小,发现f(1/2)=1/4是f(x)在[0,1]上的大值数学教学网www.21w06v.com

2. 判断函数的单调性和凸凹性

如果一个函数在定义域内的导数始终大于0或小于0,那这个函数就是单调递增或单调递减的。同理,如果一个函数的导数在某个区间内始终大于0或小于0,那这个函数在该区间内就是凸的或凹的。

  如,判断函数f(x)=x³在定义域(-∞,+∞)上的单调性和凸凹性。首先求出f(x)的导数f'(x)=3x²,发现f'(x)在区间(-∞,0)上小于0,在区间(0,+∞)上大于0,因此f(x)在区间(-∞,0)上是单调递减的,在区间(0,+∞)上是单调递增的;同时,f''(x)=6x,在区间(-∞,0)和区间(0,+∞)上分别小于0和大于0,因此f(x)在区间(-∞,0)和区间(0,+∞)上分别是凸的和凹的www.21w06v.com数学教学网

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