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必修一数学三角函数公式

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-15 18:48:33 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

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必修一数学三角函数公式(1)

  三角函数是数学中的一个重要内容,它在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用欢迎www.21w06v.com文将介绍必修一数学中的三角函数公式

一、正弦函数和余弦函数

正弦函数和余弦函数是最基的三角函数,它们的定义如

  在直角三角形中,对于一个锐角 $\theta$,们定义:

$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$

$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$

其中,对边是指与角 $\theta$ 相对的边,邻边是指与角 $\theta$ 相邻的边,斜边是指直角三角形的斜边。

  正弦函数和余弦函数的定义可以推广到任角度 $\theta$,它们的像如

  ![sin_cos_graph.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/edzbe7f0.png)

  们可以看到,正弦函数和余弦函数都是周期函数,周期为 $2\pi$。它们的性质如

1. $\sin (-\theta) = -\sin \theta$,$\cos (-\theta) = \cos \theta$,正弦函数和余弦函数都是函数数~学~教~学~网

2. $\sin (\theta + 2\pi) = \sin \theta$,$\cos (\theta + 2\pi) = \cos \theta$,正弦函数和余弦函数都是 $2\pi$ 周期函数。

  3. $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,是三角恒等式之一,也是正弦函数和余弦函数的最重要的性质之一。

必修一数学三角函数公式(2)

二、正切函数和余切函数

  正切函数和余切函数的定义如

  $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

  $$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$

  正切函数和余切函数的像如

  ![tan_cot_graph.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/edzbe7f1.png)

  们可以看到,正切函数和余切函数都是周期函数,周期为 $\pi$。它们的性质如

  1. $\tan (-\theta) = -\tan \theta$,$\cot (-\theta) = -\cot \theta$,正切函数和余切函数都是奇函数原文www.21w06v.com

  2. $\tan (\theta + \pi) = \tan \theta$,$\cot (\theta + \pi) = \cot \theta$,正切函数和余切函数都是 $\pi$ 周期函数。

  3. $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$,所以 $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,是三角恒等式之一。

必修一数学三角函数公式(3)

三、其他三角函数

除了上述四个三角函数外,还有其他的三角函数,如正割函数和余割函数。它们的定义如

$$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$$

$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

正割函数和余割函数的像如

![sec_csc_graph.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/edzbe7f2.png)

正割函数和余割函数都是周期函数,周期为 $2\pi$数学教学网www.21w06v.com。它们的性质如

  1. $\sec (-\theta) = \sec \theta$,$\csc (-\theta) = -\csc \theta$,正割函数是函数,余割函数是奇函数。

  2. $\sec (\theta + 2\pi) = \sec \theta$,$\csc (\theta + 2\pi) = \csc \theta$,正割函数和余割函数都是 $2\pi$ 周期函数。

  3. $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,所以 $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$,$\csc \theta \cdot \sin \theta = 1$,是三角恒等式之一。

四、三角函数的反函数

  三角函数的反函数是指将三角函数的自变量和因变量互换后得到的函数数+学+教+学+网。例如,正弦函数的反函数是反正弦函数,记为 $\arcsin x$,它的定义如

$$\arcsin x = \theta \quad (-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2})$$

其中,$\theta$ 是满足 $\sin \theta = x$ 的一的角度。反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数的定义类似。

反三角函数的像如

![inverse_trig_graph.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/edzbe7f3.png)

反三角函数的性质如

1. $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$,$\arctan x + \text{arccot} x = \frac{\pi}{2}$,$\text{arcsec} x + \text{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$,是反三角函数的最重要的性质之一。

  2. $\arcsin (-x) = -\arcsin x$,$\arccos (-x) = \pi - \arccos x$,$\arctan (-x) = -\arctan x$,$\text{arccot} (-x) = \pi - \text{arccot} x$,$\text{arcsec} (-x) = \pi - \text{arcsec} x$,$\text{arccsc} (-x) = -\text{arccsc} x$,是反三角函数的奇性质来自www.21w06v.com

  3. $\sin (\arcsin x) = x$,$\cos (\arccos x) = x$,$\tan (\arctan x) = x$,$\cot (\text{arccot} x) = x$,$\cos (\text{arcsec} x) = \frac{1}{x}$,$\sin (\text{arccsc} x) = \frac{1}{x}$,是反三角函数的定义。

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