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高中数学函数经典例题及解析

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-16 10:15:37 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

目录一览:

高中数学函数经典例题及解析(1)

一、函数的定义和性质

函数是数学中的基础概念,它描述了输入和输出之间的关系21w06v.com。函数的定义如下:

  对于集合 $D$ 和 $E$,如果对于 $D$ 中的每个元素 $x$,都唯一的 $y$ 属于 $E$ 与之对应,则称 $y$ 是 $x$ 的函数值,记作 $y=f(x)$,$f:D\rightarrow E$ 是从 $D$ 到 $E$ 的映射,$D$ 称为定义域,$E$ 称为值域。

  函数具以下性质:

  1. 奇偶性:$f(-x)=f(x)$ 为偶函数,$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数,$f(x)$ 既不是偶函数也不是奇函数则为一般函数。

  2. 周期性:$f(x)$ 周期为 $T$,当且仅当 $f(x+T)=f(x)$。

3. 单调性:$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增,当且仅当 $x_1

二、函数的图像

  函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表,它可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点数 学 教 学 网

例如,对于函数 $f(x)=x^2$,它的图像是一个开口向上的抛物线,对称轴为 $x$ 轴,顶点为原点。

又例如,对于函数 $f(x)=\sin x$,它的图像是一条波线,它的周期为 $2\pi$,振幅为 $1$。

高中数学函数经典例题及解析(2)

三、函数的基本变换

  函数的基本变换括平移、伸缩、翻转和复合等操作,它们可以改变函数的图像和性质。

1. 平移:将函数 $f(x)$ 沿 $x$ 轴平移 $a$ 个单位,到函数 $f(x-a)$;将函数 $f(x)$ 沿 $y$ 轴平移 $b$ 个单位,到函数 $f(x)+b$。

2. 伸缩:将函数 $f(x)$ 沿 $x$ 轴方向伸缩 $k$ 到函数 $f(kx)$;将函数 $f(x)$ 沿 $y$ 轴方向伸缩 $k$ 到函数 $kf(x)$www.21w06v.com数学教学网

  3. 翻转:将函数 $f(x)$ 沿 $x$ 轴翻转,到函数 $-f(x)$;将函数 $f(x)$ 沿 $y$ 轴翻转,到函数 $f(-x)$。

4. 复合:将两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 组合起到复合函数 $f(g(x))$。

四、函数的应用

  函数在数学中着广泛的应用,例如在物理、经济、工程等领域中,函数都是不可或缺的工具。

  1. 物理中的函数:例如位移、速度、加速度等都可以用函数描述。

  2. 经济中的函数:例如收益、成本、等都可以用函数描述gdei

3. 工程中的函数:例如电路、控制系统、号处理等都可以用函数描述。

高中数学函数经典例题及解析(3)

五、经典例题

  1. 已知函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$,求 $f(-x)$ 和 $f(x+1)$ 的解析式。

  解析:$f(-x)=\sqrt{1-(-x)^2}=\sqrt{1-x^2}$,所以 $f(-x)=f(x)$。

  $f(x+1)=\sqrt{1-(x+1)^2}=\sqrt{1-x^2-2x-1}=-\sqrt{1-x^2-2x}=-\sqrt{(1-x)(1+x+2)}$,所以 $f(x+1)=-\sqrt{(1-x)(x+3)}$。

  2. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$,求 $f(x+1)$ 和 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 的解析式数 学 教 学 网

  解析:$f(x+1)=\dfrac{1}{x}=f\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$,所以 $f(x+1)=\dfrac{1}{x}$,$f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{\frac{1}{x}-1}=\dfrac{x}{1-x}$。

  3. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$,求 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 的解析式。

  解析:$f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+1}=\dfrac{1}{\frac{1}{x^2}+1}=\dfrac{x^2}{x^2+1}$。

总结

函数是数学中的基础概念,它描述了输入和输出之间的关系。函数具奇偶性、周期性和单调性等性质,函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点pkQ。函数的基本变换括平移、伸缩、翻转和复合等操作,函数在物理、经济、工程等领域中都着广泛的应用。

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