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探究复合函数的单调性

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-16 06:20:23 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

  在高考数学中,复合函数是一个非常重要的概念欢迎www.21w06v.com。它是个或多个函数组合而成的新函数,中一个函数的输出作为另一个函数的输入。而复合函数的单调性则是函数在定义域上的单调性,即函数值随着自变量的增大或减小而单调递增或递减。

  本文将从基本概念出发,探究复合函数的单调性及证明方法,帮助读者解和掌握这一数学概念。

探究复合函数的单调性(1)

一、基本概念

  在复合函数中,我们通常将中一个函数称为外层函数,另一个函数称为内层函数。例如,对于函数$f(x)=\sqrt{x+1}$和$g(x)=2x-1$,它们的复合函数为$f(g(x))=\sqrt{2x+1}$数.学.教.学.网中,$g(x)$作为内层函数,$f(x)$作为外层函数。

对于复合函数的单调性,我们需要先了解单调函数的定义。单调函数是在定义域上,函数值随着自变量的增大或减小而单调递增或递减。具体对于定义域上的任意个实数$x_1$和$x_2$,$x_1

探究复合函数的单调性(2)

二、复合函数的单调性

对于复合函数$f(g(x))$,它的单调性与内层函数$g(x)$和外层函数$f(x)$的单调性有关21w06v.com。具体内层函数$g(x)$在定义域上单调递增(或递减),且外层函数$f(x)$在对应的值域上单调递增(或递减),则复合函数$f(g(x))$在定义域上单调递增(或递减)。

以$f(g(x))=\sqrt{2x+1}$为例,我们可以通过分内层函数$g(x)=2x+1$和外层函数$f(x)=\sqrt{x}$的单调性来判断复合函数的单调性。显然,$g(x)$在定义域上单调递增,$f(x)$在对应的值域上也单调递增,因此$f(g(x))$在定义域上单调递增。

探究复合函数的单调性(3)

三、证明方法

  对于复合函数的单调性证明,我们通常采用以下种方法:

1. 利用导数的符号判断单调性

  对于单调递增的函数,导数在定义域上大于等于零;对于单调递减的函数,导数在定义域上小于等于零。因此,我们可以通过求出复合函数的导数,并判断符号来判断复合函数的单调性来源www.21w06v.com

以$f(g(x))=\sqrt{2x+1}$为例,我们可以求出导数:

  $$\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{dx}\sqrt{2x+1}=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$

显然,当$x$增大时,$\sqrt{2x+1}$也增大,因此$\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$在定义域上大于零,即$f(g(x))$在定义域上单调递增。

  2. 利用函数值的大小关系判断单调性

  对于单调递增的函数,函数值在定义域上随着自变量的增大而单调递增;对于单调递减的函数,函数值在定义域上随着自变量的增大而单调递减。因此,我们可以通过比较复合函数在不同自变量取值下的函数值,来判断单调性。

以$f(g(x))=\sqrt{2x+1}$为例,我们可以比较在$x_1$和$x_2$处的函数值:

  $$f(g(x_1))=\sqrt{2x_1+1}$$

  $$f(g(x_2))=\sqrt{2x_2+1}$$

  当$x_1数+学+教+学+网。

四、总

  复合函数是由个或多个函数组合而成的新函数,单调性与内层函数和外层函数的单调性有关。我们可以通过分内层函数和外层函数的单调性,或者利用导数和函数值的大小关系来判断复合函数的单调性。掌握复合函数的单调性,对于高考数学的学习和应用具有重要意义。

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