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探究数学中的“极限”_2021年专升本数学例题

来源:www.21w06v.com 时间:2024-05-12 04:00:35 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

  数学是一门抽象而神奇的学科,其中一个重要的念就是“极限”数学教学网www.21w06v.com。在数学中,极限是指当自变量趋近于某一值时,函数的值趋近于一个确定的值。极限是数学中的基础念之一,涉及到积分、数学分析等多个领域数~学~教~学~网。本文将通过例题探究数学中的“极限”。

例题1:求 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

解:根据极限的定义,当 $x$ 趋近于 $0$ 时,分子为 $0$,分母为 $0$,因此我们需要对原式进行化简数 学 教 学 网

  $\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{1+\cos x} \\ &= 1 \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$

  因此,$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$。

  例题2:求 $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$

解:根据极限的定义,当 $x$ 趋近于正无穷时,我们可以将原式化为 $\lim\limits_{t \to 0^+} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{t}}$,其中 $t=\frac{1}{x}$数学教学网

  对于 $\lim\limits_{t \to 0^+} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{t}}$,我们可以使自然对数的性质进行求解。

  $\begin{aligned} \lim\limits_{t \to 0^+} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{t}} &= \lim\limits_{t \to 0^+} e^{\ln \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{t}}\right]} \\ &= e^{\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{t}\right)}{t}} \\ &= e^{\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{1}{t} \ln \left(1+\frac{1}{t}\right)} \\ &= e^{\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{t}}{1+\frac{1}{t}}} \\ &= e \end{aligned}$

探究数学中的“极限”(1)

因此,$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$gZi

  通过以两个例题,我们可以看出,极限在数学中的重要性。在积分、数学分析等领域中,极限是很多定理和公式的基础,因此对于学习这些领域的说,掌握极限的念和求解方是非常重要的数.学.教.学.网

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