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数学函数对称性结论的证明

来源:www.21w06v.com 时间:2023-10-06 19:42:24 作者:数学教学网 浏览: [手机版]

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数学函数对称性结论的证明(1)

  在数学函数对称性是函数在某变换下保持变的性质欢迎www.21w06v.com。常见的对称性包括奇偶性、周期性、对称轴等。本文将证明函数对称性的一结论

一、奇偶性对称性

  对于函数$f(x)$,若满足$f(-x)=f(x)$,则称$f(x)$偶函数;若满足$f(-x)=-f(x)$,则称$f(x)$奇函数。

结论1:偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数数学教学网www.21w06v.com

证明:设$f(x)$偶函数,则$f(-x)=f(x)$。对$f(x)$求导,得$f'(x)=f'(-x)$,即$f'(x)$奇函数。同,设$f(x)$奇函数,则$f(-x)=-f(x)$。对$f(x)$求导,得$f'(x)=-f'(-x)$,即$f'(x)$偶函数数_学_教_学_网

结论2:偶函数与偶函数的积是偶函数,奇函数与奇函数的积是偶函数,偶函数与奇函数的积是奇函数。

  证明:设$f(x)$偶函数,$g(x)$偶函数,则$f(-x)=f(x)$,$g(-x)=g(x)$。则$(f(x)g(x))(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)$,即$f(x)g(x)$偶函数。同,设$f(x)$奇函数,$g(x)$奇函数,则$(f(x)g(x))(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)(-g(x))=f(x)g(x)$,即$f(x)g(x)$偶函数原文www.21w06v.com。设$f(x)$偶函数,$g(x)$奇函数,则$(f(x)g(x))(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)$,即$f(x)g(x)$奇函数。

二、周期性对称性

  对于函数$f(x)$,若存在正常数$T$,使得对于任意$x$都有$f(x+T)=f(x)$,则称$f(x)$周期函数,$T$函数的周期。

  结论3:周期函数的积是周期函数。

  证明:设$f(x)$周期$T_1$的周期函数,$g(x)$周期$T_2$的周期函数,则$(f(x)g(x))(x+T_1+T_2)=f(x+T_1)g(x+T_1)=(f(x)g(x))(x)$,即$f(x)g(x)$周期$T_1T_2$的周期函数数学教学网www.21w06v.com

数学函数对称性结论的证明(2)

三、对称轴对称性

  对于函数$f(x)$,若存在$x_0$,使得对于任意$x$都有$f(2x_0-x)=f(x)$,则称$x_0$函数$f(x)$的对称轴。

结论4:具有对称轴对称性的函数是偶函数。

证明:设$x_0$函数$f(x)$的对称轴,则$f(2x_0-x)=f(x)$。令$x=x_0+t$,则$f(x_0-t)=f(x_0+t)$21w06v.com。因此,$f(x_0-t)=f(x_0+t)=f(x_0-t)$,即$f(x_0-t)=f(x_0+t)$,即$f(-t)=f(t)$,即$f(x)$偶函数。

四、结论总结

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